高考常见十大奇函数全解析

在高中数学的函数领域中,奇函数是一个重要的概念，也是高考数学中的常见考点，掌握高考常见的十大奇函数，对于同学们在考试中快速解题、准确得分具有重要意义，我们就对这十大奇函数进行详细的剖析。

奇函数的定义

对于一个函数$f(x)$，如果对于定义域内的任意一个$x$，都有$f(-x)= -f(x)$，那么函数$f(x)$就叫做奇函数，奇函数的图象关于原点对称。

高考常见十大奇函数

1. 正比例函数$f(x)=kx$（$k\neq0$）这是最基本的奇函数形式，对于$f(x)=kx$，有$f(-x)=k(-x)= -kx = -f(x)$，满足奇函数定义，其图象是过原点的一条直线，斜率为$k$，在高考中，常与其他函数结合考查函数的奇偶性判断、函数图象的变换等。
2. 幂函数$f(x)=x^3$$f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$，所以它是奇函数，幂函数$y = x^3$的图象在$R$上单调递增，关于原点对称，高考中会考查其单调性、极值等性质，以及与其他函数组成复合函数后的相关问题。
3. 正弦函数$f(x)=\sin x$根据三角函数的性质，$\sin(-x)=-\sin x$，f(x)=\sin x$是奇函数，正弦函数的图象是周期为$2\pi$的波浪线，在高考中，它是三角函数板块的重要组成部分，常与余弦函数、正切函数等综合考查，涉及到函数的图象、性质、最值、值域等问题。
4. 正切函数$f(x)=\tan x$由正切函数的定义$\tan(-x)=-\tan x$，可知$f(x)=\tan x$是奇函数，其图象是周期为$\pi$的间断曲线，在高考中主要考查其定义域、值域、单调性、周期性等性质，以及在解三角形、三角函数恒等变换等问题中的应用。
5. 函数$f(x)=\frac{a^x - a^{-x}}{2}$（$a\gt0$且$a\neq1$）$f(-x)=\frac{a^{-x}-a^{x}}{2}=-\frac{a^{x}-a^{-x}}{2}=-f(x)$，所以该函数是奇函数，这种形式的函数在指数函数相关的题目中较为常见，高考中会考查其与指数函数的性质综合运用，比如单调性、奇偶性的判断，以及利用这些性质解决一些不等式问题等。
6. 函数$f(x)=\frac{1}{x - 1}+\frac{1}{x + 1}$先对函数进行化简：$f(x)=\frac{(x + 1)+(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)}=\frac{2x}{x^2 - 1}$。$f(-x)=\frac{-2x}{x^2 - 1}=-f(x)$，是奇函数，这类分式形式的函数在高考中考查频率也较高，常涉及到函数的定义域、值域、单调性以及与其他函数的组合问题。
7. 函数$f(x)=\log_a\frac{1 - x}{1 + x}$（$a\gt0$且$a\neq1$）首先求其定义域，由$\frac{1 - x}{1 + x}\gt0$，解得$-1\lt x\lt1$。$f(-x)=\log_a\frac{1 + x}{1 - x}=\log_a(\frac{1 - x}{1 + x})^{-1}=-\log_a\frac{1 - x}{1 + x}=-f(x)$，所以是奇函数，对数函数形式的奇函数在高考中主要考查对数函数的性质、定义域、值域以及函数的单调性与奇偶性的综合应用。
8. 函数$f(x)=\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}$定义域同样为$-1\lt x\lt1$。$f(-x)=\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}=\sqrt{(\frac{1 - x}{1 + x})^{-1}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}}=-f(x)$（这里利用了函数值的关系），是奇函数，根式形式的函数在高考中考查时，常与定义域、值域、单调性以及函数的奇偶性结合起来，需要同学们熟练掌握相关的变形和运算。
9. 函数$f(x)=x\cdot\frac{a^x + 1}{a^x - 1}$（$a\gt0$且$a\neq1$）$f(-x)=-x\cdot\frac{a^{-x}+1}{a^{-x}-1}=-x\cdot\frac{1 + a^x}{1 - a^x}=x\cdot\frac{a^x + 1}{a^x - 1}=f(x)$，所以是奇函数，这类复杂形式的函数在高考中出现时，需要同学们仔细分析函数的结构，利用函数的性质进行化简和求解。
10. 函数$f(x)=\ln(\sqrt{x^2 + 1}+x)$$f(-x)=\ln(\sqrt{x^2 + 1}-x)=\ln\frac{(\sqrt{x^2 + 1}-x)(\sqrt{x^2 + 1}+x)}{\sqrt{x^2 + 1}+x}=\ln\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}+x}=-\ln(\sqrt{x^2 + 1}+x)=-f(x)$，是奇函数，对数函数与根式结合的形式在高考中考查时，重点在于对数函数的运算性质以及函数奇偶性的运用，常出现在函数的综合题目中。

奇函数在高考中的应用

1. 函数性质的判断高考中常常会给出一个函数，要求判断其奇偶性，同学们需要熟练掌握这十大奇函数的形式和特点，通过代入$-x$进行化简，判断是否满足$f(-x)= -f(x)$，给出函数$f(x)=3x^3 + \sin x$，我们可以分别分析$y = 3x^3$和$y=\sin x$都是奇函数，根据奇函数的性质，两个奇函数的和仍然是奇函数，f(x)$是奇函数。
2. 函数图象的绘制利用奇函数图象关于原点对称的性质，可以快速绘制函数图象，比如已知函数$f(x)=x^3 - 2x$是奇函数，先求出其在$x\gt0$部分的图象，然后根据对称性就可以得到$x\lt0$部分的图象，这样可以更准确地分析函数的单调性、极值等性质。
3. 解题技巧在一些函数求值、不等式求解等问题中，奇函数的性质可以起到简化计算的作用，已知奇函数$f(x)$在区间$[a,b]$上单调递增，且$f(a)= -m$，$f(b)=n$，那么对于区间$[-b,-a]$上的函数值，就可以利用奇函数的性质$f(-x)= -f(x)$得到$f(-a)=m$，$f(-b)= -n$，从而快速解决相关问题。

掌握高考常见的十大奇函数及其性质,对于同学们在高考数学中攻克函数相关的题目具有至关重要的作用，希望同学们通过对本文的学习，能够更加深入地理解奇函数，在考试中灵活运用，取得优异的成绩🎯。